奇偶函数 奇函数，f(-x) = -f(x), 关于原点对称 偶函数, f(-x) = f(x), 关于y轴对称 反函数，y = f(x), x = g(y), 这样f和g就是反函数，例如y = 2^x 与 y = log2(x)就是反函数，2个反函数关于y = x AOB 数学符号 非负整数集（或自然数集）,记作N； 正整数集,记作N*或N+（“+”标在右下角）； 整数集,记作Z； 有理数集,记作Q； 实数集,记作R, 全体实数和虚数组成的复数的集合称为复数集,记作C....

目录自然数数学归纳法等差级数等比级数前n项平方和练习题数论素数素数定理同余罗马数字三角函数贝叶斯定理条件概率：信息论导数简单线性回归向量的积概率欧氏空间最大似然估计仿射函数 自然数 数学归纳法 下面的定理都可以用数学归纳法证明，但是我随便复习一下原始的推导。 等差级数 复习一下等差级数求和公式的推导过程: Sn=1+2+...+(n−1)+nS_n = 1 + 2 + ... + (n - 1) + nSn​=1+2+...+(n−1)+n Sn=n+(n−1)+...+2+1S_n = n + (n - 1) + ... + 2 + 1Sn​=n+(n−1)+...+2+1 两条式子相加，得...

目录向量内积外积矩阵阶梯矩阵增广矩阵秩满秩矩阵行列式协方差矩阵特征值分解格拉姆矩阵/Gram matrix 向量 内积 又叫数量积，点积 相应元素相乘，再加起来，是一个数 几何意义：设向量B的模为1，则A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度 外积 又叫叉积，向量积 一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从A以不超过180度的转角转向B时，竖起的大拇指指向是C的方向 矩阵 阶梯矩阵 线性代数中，一个矩阵如果符合下列条件的话，我们称之为行阶梯形矩阵（英语：Row Echelon Form）： 所有非零行（矩阵的行至...

目录无穷范数的证明最大似数与最大后验 无穷范数的证明 证明: L∞=lim⁡p→∞(∑in∣xi∣p)1p=max(∣xi∣)L_\infty = \displaystyle\lim_{p \to \infty}( um_i^n|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} = max(|x_i|)L∞​=p→∞lim​(i∑n​∣xi​∣p)p1​=max(∣xi​∣) 不妨设xmx_mxm​为绝对值最大的数，即∣xm∣>∣xi∣|x_m| > |x_i|∣xm​∣>∣xi​∣. 若∣xi∣=∣xm∣|x_i| = |x_m|∣xi​∣=∣xm​∣, 则 lim⁡p→∞(...

目录图形度量概率期望排列组合几何分布二项分布泊松分布正态分布抽样假设检验卡方分布 图形 频数：一个特定组或特定区间，统计对象的个数 饼状图，垂直条形图，水平条形图（适合类别名字较长），堆积条形图（要比较的两个统计对象的条形左右相邻），分段条形图（要比较的两个统计对象的条形上下相邻） 直方图：长方形之间没有间隔，在两个边界数字的中间位置合并，面积表示频数，宽度可以不一样，高度表示“频数密度” 累积频数：累加到某一个数值时的总频数 一般用折线图表示累积频数 度量 均值 μ=Σxn\mu = \frac{\Sigma x}{n}μ=nΣx​ , n是个数 μ=ΣfxΣf\mu = \fra...

为了实习的笔试面试，一定要把以前丢掉的数学全部找回来，于是开始了复习之旅。 基本知识 矩阵能相乘if and only if第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。 在台湾，矩阵的行和列和我们的相反，他们横向称为“列”，纵向称为“行”。 行数是1的矩阵称为行向量，列数是1的矩阵行为列向量。 矩阵的数乘(scalar multiplication)。 矩阵的转置(transpose)，把矩阵的行向量变成列向量。 线性方程组是矩阵的主要应用，如下的线性方程组： a1,1 x1 + a1,2 x2 + ... + a1,n xn = b1 a2,1 x1 + a2,2 x2 + ... + a2,...

在行列式里面，代数余子式有个性质: 如果某行(列)元素分别乘以其他行(列)的代数余子式，则结果为 0. 怎么证明呢? 一直想不到方法，看了宋浩的视频，恍然大悟。 证明是这样的，以一个 3x3 的具体行列式为例。 A=∣123456789∣A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\\\ \end{vmatrix}A=​147​258​369​​ 如果用第 3 行的元素分别乘以第一行的余子式，即 B=a31A11+a32A12+a33A13=7A11+8A1...

伴随矩阵最基本的恒等式为: A(A∗)=∣A∣EA(A^*) = |A|EA(A∗)=∣A∣E 怎么证明呢? 参考了这里 直接从定义出发来证明。 以一个 3x3 的具体行列式为例。 A=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\\ \end{vmatrix}A=​a11​a21​a31​​a12​a22​a...

这个权限是: lim⁡x→0sinxx=1\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1x→0lim​xsinx​=1 证明方法是用几何方法，这里学到了不少东西。 先看图: {{< figure src="/images/sinx_x_circle.png" width="50%" title="sinx/x circle" >}} 证明: 做一个半径为 1 的圆，x 为该扇形的弧度，所以弧长 AB^=x,BO=AO=1\widehat{AB} = x, BO = AO = 1AB=x,BO=AO=1, ...

和差不等式 ∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣\vert a \pm b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣ ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣\vert \vert a \vert - \vert b \vert \vert \le \vert a - b \vert∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣ 这 2 个不等式，应该是显然的，不需要证明了。 均值定理 若a1,a2,...an>0,若 a_1, a_2, ... a_n > 0,若a1​,a2​,...an​>0, Qn=a12+a22+...+an2nQ_n =...

一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0的求根公式为: xx1,x2=−b±b2−4ac2ax_{x1,x2} = \frac{-b \pm qrt{b^2 - 4ac}}{2a}xx1,x2​=2a−b±b2−4ac​​ 推导过程 根据经验，左边如果可以写在平方的形式，通过开方，就可以求得根，所以我们的目标是通过变换，得到左式为平方的形式。 因为 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 将c移到右边，得: ax2+bx=−cax^2 + bx = -cax2+bx=−c 两边都除以a，得: x2+bax=...

高中学过这样一个公式: 12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}12+22+...+n2=6n(n+1)(2n+1)​ 当时说这个公式的证明超纲了，先记住。 现在来研究一下怎么证明。 要证明这个公式，先要证明立方差公式。 立方差公式 我们知道平方差公式是这样的: a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b) 这个公式已经滚瓜烂熟了，一眼也能看出来，不需要证明。 立方差公式是这样的: a3−b3=(a−b)(a2+...

一道函数单调性问题 遇到一道题: 判断 y=cosxy = cosxy=cosx在区间(0,π)(0, \pi)(0,π)上的单调性。 通过几何画图是很快看出来的，关键是怎么证明呢? 证明过程是这样的: 令x1,x2∈(0,π),x1<x2x_1,x_2 \in (0, \pi), x_1 < x_2x1​,x2​∈(0,π),x1​<x2​, 则cosx2−cosx1=−2sinx2+x12sinx2−x12cosx_2 - cosx_1 = -2sin\frac{x_2 + x_1}{2}sin\frac{x_2 - x_1}{2}cosx2​−cosx1​=−2sin2...