代数余子式异乘为0的证明

在行列式里面，代数余子式有个性质: 如果某行(列)元素分别乘以其他行(列)的代数余子式，则结果为 0.

怎么证明呢? 一直想不到方法，看了宋浩的视频，恍然大悟。

证明是这样的，以一个 3x3 的具体行列式为例。

A=∣123456789∣A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\\\ \end{vmatrix}

如果用第 3 行的元素分别乘以第一行的余子式，即

B=a31A11+a32A12+a33A13=7A11+8A12+9A13=∣789456789∣B = a_{31}A_{11} + a_{32}A_{12} + a_{33}A_{13} = 7A_{11} + 8A_{12} + 9A_{13} = \begin{vmatrix} 7 & 8 & 9 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\\\ \end{vmatrix}

结果与后面的行列式是一样的，由于两行同样元素的行列式为 0，所以异乘代数余子式结果为 0.