1至n的平方和公式推导

高中学过这样一个公式:

12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

当时说这个公式的证明超纲了，先记住。

现在来研究一下怎么证明。

要证明这个公式，先要证明立方差公式。

立方差公式

我们知道平方差公式是这样的:

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

这个公式已经滚瓜烂熟了，一眼也能看出来，不需要证明。

立方差公式是这样的:

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

怎么证明呢? 我们可以考虑，它应该跟 (a−b)3(a - b)^3 有关，因为它分解之后会包含 a3a^3 和 b3b^3.

证明如下:

(a−b)3=(a−b)2(a−b)=(a2−2ab+b2)(a−b)(a - b)^3 = (a - b)^2(a - b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a - b)

=a3−a2b−2a2b+2ab2+ab2−b3=a3−3a2b+3ab2−b3= a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

所以:

a3−b3=(a−b)3+3a2b−3ab2=(a−b)3+3ab(a−b)=(a−b)((a−b)2+3ab)a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3a^2b - 3ab^2 = (a - b)^3 + 3ab(a - b) = (a - b)((a - b)^2 + 3ab)

=(a−b)(a2−2ab+b2+3ab)=(a−b)(a2+ab+b2)= (a - b)(a^2 - 2ab + b^2 + 3ab) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

证毕。

1 至 n 的平方和公式

有了上面的公式，这里就可以使用一种技巧来证明 1 至 n 的平方和公式。

n3−(n−1)3=(n−(n−1))(n2+n(n−1)+(n−1)2)n^3 - (n - 1)^3 = (n - (n - 1))(n^2 + n(n - 1) + (n - 1)^2) =n2+n2−n+n2−2n+1=3n2−3n+1= n^2 + n^2 - n + n^2 - 2n + 1 = 3n^2 - 3n + 1

(n−1)3−(n−2)3=(n−1−(n−2))((n−1)2+(n−1)(n−2)+(n−2)2)(n - 1)^3 - (n - 2)^3 = (n - 1 - (n - 2))((n - 1)^2 + (n - 1)(n - 2) + (n - 2)^2) =(n−1)2+(n−1)(n−1−1)+(n−1−1)2= (n - 1)^2 + (n - 1)(n - 1 - 1) + (n - 1 - 1)^2 =(n−1)2+(n−1)2−(n−1)+(n−1)2−2(n−1)+1= (n - 1)^2 + (n - 1)^2 - (n - 1) + (n - 1)^2 - 2(n - 1) + 1 =3(n−1)2−3(n−1)+1= 3(n - 1)^2 - 3(n - 1) + 1

...

23−13=3∗22−3∗2+12^3 - 1^3 = 3*2^2 - 3 * 2 + 1

13−03=3∗12−3∗1+11^3 - 0^3 = 3*1^2 - 3 * 1 + 1

把上面的式子左右都相加, 得

n3−03=3(12+22+...+n2)−3(1+2+...+n)+nn^3 - 0^3 = 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2) - 3(1 + 2 + ... + n) + n

3(12+22+32+...+n2)=n3+3(1+2+...+n)−n3(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) = n^3 + 3(1 + 2 + ... + n) - n

12+22+...+n2=n3−n3+(1+n)n21^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n^3 - n}{3} + \frac{(1 + n)n}{2}

=2n3−2n+3(n+1)n6=n(2n2+3n+1)6=n(n+1)(2n+1)6= \frac{2n^3 - 2n + 3(n + 1)n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

证毕。