一元二次方程求根公式推导

一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0的求根公式为:

xx1,x2=−b±b2−4ac2ax_{x1,x2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

推导过程

根据经验，左边如果可以写在平方的形式，通过开方，就可以求得根，所以我们的目标是通过变换，得到左式为平方的形式。

因为

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

将c移到右边，得:

ax2+bx=−cax^2 + bx = -c

两边都除以a，得:

x2+bax=−cax^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

两边都加上(b2a)2(\frac{b}{2a})^2, 得:

x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−cax^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}

两边化简，得:

(x+b2a)2=b2−4ac4a2(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

两边开方，得:

x+b2a=±b2−4ac2ax + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

所以:

xx1,x2=−b2a±b2−4ac2a=−b±b2−4ac2ax_{x1,x2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

韦达公式

韦达公式是这样的:

x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} x1x2=cax_1x_2 = \frac{c}{a}

推导很简单，直接来就行:

x1+x2=−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = −b2a+−b2a=ba\frac{-b}{2a} + \frac{-b}{2a} = \frac{b}{a}

x1x2=−b+b2−4ac2a×−b−b2−4ac2a=x_1x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = (−b+b2−4ac)(−b−b2−4ac)4a2=\frac{(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})(-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{4a^2} = (−b)2−(b2−4ac)4a2=ca\frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}

抛物线的顶点坐标

对于抛物线 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, 它的顶点坐标是 (−b2a,4ac−b24a)(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})

原理很简单，顶点处导数为0，所以有:

y′=2ax+b=0y' = 2ax + b = 0 x=−b2ax = -\frac{b}{2a} y=a(−b2a)2−bb2a+c=4ac−b24ay = a(-\frac{b}{2a})^2 - b\frac{b}{2a} + c = \frac{4ac - b^2}{4a}