常用不等式及证明

4/1/2020

和差不等式

$ \vert a \pm b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert $

$ \vert \vert a \vert - \vert b \vert \vert \le \vert a - b \vert $

这 2 个不等式，应该是显然的，不需要证明了。

均值定理

$ 若 a_1, a_2, ... a_n > 0, $ $ Q_n = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{n}} $ $ A_n = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} $ $ G_n = \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} $ $ H_n = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}} $

则有, $ Q_n \ge A_n \ge G_n \ge H_n $, 当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$时等号成立

二维的比较容易证明，n 维的暂时还想不出来怎么证明，下面给出二维的证明。

证明$ \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}} \ge \frac{a_1 + a_2}{2} $

由于 $ (a_1 + a_2)^2 \ge 0 $

所以 $ a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0 $

所以 $a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$

两边加上$a_1^2 + a_2^2$, 得: $ 2(a_1^2 + a_2^2) \ge a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 $

$ 2(a_1^2 + a_2^2) \ge (a_1 + a_2)^2 $

$ \frac{a_1^2 + a_2^2}{2} \ge \frac{(a_1 + a_2)^2}{4} $

所以: $ \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}} \ge \frac{a_1 + a_2}{2} $

证毕。

证明$\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}$

由于 $ (a_1 - a_2)^2 \ge 0 $

所以 $ a_1^2 - 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0 $

所以 $a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$

所以 $ (\sqrt{a_1})^2 + (\sqrt{a_2})^2 \ge 2\sqrt{a_1}\sqrt{a_2} $

$ a_1 + a_2 \ge 2\sqrt{a_1a_2} $

所以 $\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}$

证明$\sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}}$

由于 $ (a_1 + a_2)^2 \ge 0 $

所以 $ a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0 $

所以 $a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$

两边加上$2a_1a_2$, 得 $a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \ge 4a_1a_2$

$(a_1 + a_2)^2 \ge 4a_1a_2 $

$ \frac{4a_1a_2}{(a_1 + a_2)^2} \le 1 $

两边乘以$a_1a_2$, 得

$ \frac{4(a_1a_2)^2}{(a_1 + a_2)^2} \le a_1a_2 $

两边开方，得

$ \sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2a_1a_2}{a_1 + a_2} $

右边上下除以$a_1a_2$, 得 $ \sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}} $

证毕。

关键是要$a_1 \ge 0, a_2 \ge 0$.

柯西不等式

$ (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) $

简写一下，是这样: $ \sum_1^n (a_ib_i)^2 \le \sum_1^n a_i^2 \sum_1^n b_i^2 $

证明:

构造二次函数: $ f(x) = (a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2 + ... + (a_nx + b_n)^2 $ $ = (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)x^2 + 2(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)x + (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) $

由于 f(x)是各个二次函数的平方之和，所以 $f(x) \ge 0$.

现在来求抛物线$f(x) = ax^2 + bx + c $的顶点。

我们知道顶点处切线斜率为 0，所以导数为 0，所以有: $ f'(x) = 2ax + b = 0 $

所以 $ x = \frac{-2a}{b} $

代入 f(x)，得 $y = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2} $

所以抛物线的顶点坐标为 $ (\frac{-2a}{b}, \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2}) $

由于$f(x) \ge 0$, 所以: $ y = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2} \ge 0 $

所以: $ b^2 - 4ac \le 0 $

因此，对于我们上面构造的二次函数，有: $ 4(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 - 4(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \le 0 $

化简，得:

$ (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) $

证毕。

指数函数不等式

$ e^x \ge x + 1 $

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。

对数函数不等式

$ lnx \le x - 1 $

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。

其他

$ sinx \lt x, x \gt 0 $

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。