常用不等式及证明

和差不等式

$$\vert a \pm b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert$$

$$\vert \vert a \vert - \vert b \vert \vert \le \vert a - b \vert$$

这 2 个不等式，应该是显然的，不需要证明了。

均值定理

$$若 a_1, a_2, ... a_n > 0,$$ $$Q_n = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{n}}$$ $$A_n = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$$ $$G_n = \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$ $$H_n = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}}$$

则有, $Q_n \ge A_n \ge G_n \ge H_n$, 当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$时等号成立

二维的比较容易证明，n 维的暂时还想不出来怎么证明，下面给出二维的证明。

• 证明$\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}} \ge \frac{a_1 + a_2}{2}$

由于 $$(a_1 + a_2)^2 \ge 0$$

所以 $$a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0$$

所以 $$a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$$

两边加上$a_1^2 + a_2^2$, 得: $$2(a_1^2 + a_2^2) \ge a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2$$

$$2(a_1^2 + a_2^2) \ge (a_1 + a_2)^2$$

$$\frac{a_1^2 + a_2^2}{2} \ge \frac{(a_1 + a_2)^2}{4}$$

所以: $$\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}} \ge \frac{a_1 + a_2}{2}$$

证毕。

• 证明$\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}$

由于 $$(a_1 - a_2)^2 \ge 0$$

所以 $$a_1^2 - 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0$$

所以 $$a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$$

所以 $$(\sqrt{a_1})^2 + (\sqrt{a_2})^2 \ge 2\sqrt{a_1}\sqrt{a_2}$$

$$a_1 + a_2 \ge 2\sqrt{a_1a_2}$$

所以 $$\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}$$

• 证明$\sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}}$

由于 $$(a_1 + a_2)^2 \ge 0$$

所以 $$a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \ge 0$$

所以 $$a_1^2 + a_2^2 \ge 2a_1a_2$$

两边加上$2a_1a_2$, 得 $$a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \ge 4a_1a_2$$

$$(a_1 + a_2)^2 \ge 4a_1a_2$$

$$\frac{4a_1a_2}{(a_1 + a_2)^2} \le 1$$

两边乘以$a_1a_2$, 得

$$\frac{4(a_1a_2)^2}{(a_1 + a_2)^2} \le a_1a_2$$

两边开方，得

$$\sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2a_1a_2}{a_1 + a_2}$$

右边上下除以$a_1a_2$, 得 $$\sqrt{a_1a_2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}}$$

证毕。

关键是要$a_1 \ge 0, a_2 \ge 0$.

柯西不等式

$$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$$

简写一下，是这样: $$\sum_1^n (a_ib_i)^2 \le \sum_1^n a_i^2 \sum_1^n b_i^2$$

证明:

构造二次函数: $$f(x) = (a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2 + ... + (a_nx + b_n)^2$$ $$= (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)x^2 + 2(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)x + (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$$

由于 f(x)是各个二次函数的平方之和，所以 $f(x) \ge 0$.

现在来求抛物线$f(x) = ax^2 + bx + c$的顶点。

我们知道顶点处切线斜率为 0，所以导数为 0，所以有: $$f'(x) = 2ax + b = 0$$

所以 $$x = \frac{-2a}{b}$$

代入 f(x)，得 $y = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2}$

所以抛物线的顶点坐标为 $$(\frac{-2a}{b}, \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2})$$

由于$f(x) \ge 0$, 所以: $$y = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2} \ge 0$$

所以: $$b^2 - 4ac \le 0$$

因此，对于我们上面构造的二次函数，有: $$4(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 - 4(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \le 0$$

化简，得:

$$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)$$

证毕。

指数函数不等式

$$e^x \ge x + 1$$

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。

对数函数不等式

$$lnx \le x - 1$$

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。

其他

$$sinx \lt x, x \gt 0$$

这个通过函数图像，大脑立马浮现两个函数的图像，证毕。