统计学笔记

图形

• 频数：一个特定组或特定区间，统计对象的个数 饼状图，垂直条形图，水平条形图（适合类别名字较长），堆积条形图（要比较的两个统计对象的条形左右相邻），分段条形图（要比较的两个统计对象的条形上下相邻） 直方图：长方形之间没有间隔，在两个边界数字的中间位置合并，面积表示频数，宽度可以不一样，高度表示“频数密度”

• 累积频数：累加到某一个数值时的总频数 一般用折线图表示累积频数

度量

• 均值 $$\mu = \frac{\Sigma x}{n}$$ , n是个数 $$\mu = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f}$$ , f是频数
• 中位数，众数和均值都是一种平均数
• 全距，也叫极差，等于上界减下界，即最大数减最小数
• 四分位数：把一批数据一分为四份的3个数
• 四分位距 = 上四分位数 - 下四分位数 同理，有10分位数和百分位数 假设共n个数，求第k个m分位数的方法：

1. 升序排序
2. 计算 $$k(\frac{n}{m})$$ 如果结果是整数，则第k个m分位数为它与下一个数之间的均值如果结果不是整数，则向上取整，结果就是这个位置的数

• 箱线图，可看出来一组数据分布的稳定性

• 方差 $$方差 = \frac{\Sigma(x - \mu)^2}{n} = \frac{\Sigma{x}^2}{n} - \mu^2$$

• 标准差 $$\sigma = \sqrt{方差}$$

• 标准分(z分) $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 用来表示某一个新的x，距离均值多少个标准差

概率

• 有概率树这种东西

• 全概率公式 $$P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A^1) = P(A)P(B|A) + P(A^1)P(B|A^1)$$

• 如果两个事件独立，则两个事件同时发生的概率就是条件概率的特殊情况 $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ 因为A和B相互独立，P(A|B)等于P(A)，所以 $$P(A|B) = P(A)$$ $$P(A)P(B) = P(A \cap B)$$

期望

$$E(x) = \Sigma (xP(X=x))$$ 期望也是一种平均值，但它是针对有概率的取值的平均值

• 期望的方差 $$Var(x) = E((x - \mu)^2) = \Sigma[(x - \mu)^2P(X=x)]$$ 其中$\mu$是前面算出来的数学期望
• 期望和方差的线性变换 $$E(ax + b) = aE(x) + b$$ $$Var(ax + b) = a^2Var(x)$$

排列组合

$$P^r_n = \frac{n!}{(n-r)!}$$ $$C^r_n = {n \choose k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{r!(n - r)!}$$

几何分布

目标：为了取得一次成功，需要进行多少次试验 重试过r次才成功的概率： $$P(X=r) = q^{(r-1)}p$$ 其中，p为成功的概率，q为失败的概率 $$X \sim Geo(p)$$ 说明，X服从几何分布，则数学期望(概率分布的均值)为: $$E(X) = \dfrac{1}{p}$$ 方差为: $$Var(X) = E(x^2) - (E(x))^2 = \dfrac{q}{p^2}$$ 在离散概率分布中，众数是指概率质量函数有最大值的数据，也就是最容易取様到的数据。在连续概率分布中，众数是指机率密度函数有最大值的数据，也就是机率密度函数的峰值任何的几何分布，众数一定是1，因为1是概率最大的取值

二项分布

目标：在n次试验中，能成功多少次

• 一系列独立试验
• 每一次试验的成功概率相同
• 试验次数有限 r次试验成功的概率为： $$P(X = r) = C^r_n p^r q^{n - r}$$ , 其中 $C^r_n = \dfrac{n!}{r!(n - r)!}$ X服从二项分布，写作： $$X \sim B(n, p)$$ 其中，n是试验数，p是成功概率数学期望为： $$E(X) = np$$ 方差为： $$Var(X) = npq$$

泊松分布

目标：给定区间内，事件发生了多少次或已知给定区间内事件的平均发生次数，目标是特定情况下区间内事件发生的次数，使用泊松分布 $$X \sim Po(\lambda)$$ $$P(X = r) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$$ $$E(X) = \lambda , Var(X) = \lambda$$ 二项分布有时候可以近似使用泊松分布来表示，当二项分布的期望和方差很接近时，即$np$很接近$npq$时，即n很大且p很少时，可以用泊松分布近似代替，这个时候$\lambda$近似等于$np$ 一辆公交车平均每15分钟会停一站，求15分钟之内不出现公交车的概率是多少？ $$P(X = 0) = \dfrac{e^{-1} 1^0}{0!} = e^{-1}$$ 泊松分布是二项分布的极限形式

正态分布

• 概率密度：表示一个范围内概率大小
• 概率密度函数：表明某个连续变量在一定范围内的概率分布，它与X轴形成的面积是这个范围的概率 如果一个连续变量X符合正态分布，则: $$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$ 其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差 , $\sigma$越小，说明数据越集中，图形越高瘦，$\sigma$越大，说明数据越分散，图形扁平 如果$X \sim B(n, p)$, 且np > 5, nq > 5, 则该二项分布可以用正态分布$X \sim N(np, npq)$ 近似。但是由于二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，所以计算出来之后还需要做连续性修正才能接近真正的概率 如果$X \sim Po(\lambda, \lambda)$, 且$\lambda > 15$, 则该分布可以用正态分布$X \sim N(\lambda, \lambda)$ 近似。不过，也需要做连续性修正

抽样

• 随机抽样：随机取
• 分层抽样：分成几个组，比如黄色，绿色
• 整群抽样：分成一些群，比如一盒一盒糖果
• 系统抽样：选取一个数字k，每k个对象抽一次
• $\mu$是总体均值，$\bar{x}$是样本均值，$\hat{\mu}$是总体均值的点估计量
• 中心极限定理（Central Limit Theorem） 中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。我每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样，一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态分布。

假设检验

卡方分布